Cơ Bản: Hình Học Giải Tích Oxy và Oxyz
Basic - Cơ BảnMục Lục
Hình Học Giải Tích Oxy
1. Tọa Độ Điểm và Véc Tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một điểm M được biểu diễn bằng tọa độ , trong đó là hoành độ và là tung độ.
Một véc tơ có điểm đầu A(;) và điểm cuối B(;) có tọa độ là:
Các phép toán véc tơ:
Độ dài véc tơ:
Tích vô hướng của hai véc tơ:
, với là góc giữa hai véc tơ.
Hai véc tơ vuông góc:
2. Phương Trình Đường Thẳng
Phương trình tổng quát: , với . Véc tơ pháp tuyến là .
Phương trình tham số: , với (;) thuộc đường thẳng và véc tơ chỉ phương là .
Phương trình chính tắc:
Hệ số góc:
3. Khoảng Cách
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:
4. Đường Tròn
Phương trình đường tròn tâm , bán kính R:
Dạng khai triển: , với .
5. Elip
Phương trình chính tắc: , với .
Tiêu điểm: , với
Độ dài trục lớn: 2a, trục bé: 2b
Ví dụ 1
Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; -1). Tìm tọa độ điểm M sao cho
Lời giải:
- Tính
- Gọi M(x; y). Khi đó
- Vì nên ta có:
- Vậy M(3; -1).
Ví dụ 2
Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; -1) và có véc tơ pháp tuyến .
Lời giải:
- Phương trình đường thẳng có dạng:
- Rút gọn:
- Vậy phương trình đường thẳng là:
Hình Học Giải Tích Oxyz
1. Tọa Độ Điểm và Véc Tơ
Trong không gian tọa độ Oxyz, một điểm M được biểu diễn bằng tọa độ , trong đó là hoành độ, là tung độ và là cao độ.
Một véc tơ có điểm đầu A(;;) và điểm cuối B(;;) có tọa độ là:
Các phép toán véc tơ:
Độ dài véc tơ:
Tích vô hướng của hai véc tơ:
, với là góc giữa hai véc tơ.
Hai véc tơ vuông góc:
Tích có hướng của hai véc tơ:
Tích có hướng là một vector vuông góc với cả hai vector ban đầu.
2. Phương Trình Mặt Phẳng
Phương trình tổng quát: , với . Véc tơ pháp tuyến là .
3. Phương Trình Đường Thẳng
Phương trình tham số: , với (;;) thuộc đường thẳng và véc tơ chỉ phương là .
4. Khoảng Cách
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Ví dụ 3
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(4; -2; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
Lời giải:
- Tọa độ điểm O(0;0;0).
- Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là:
- Thay số:
- Vậy G(; 0; ).
Ví dụ 4
Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 3) và có véc tơ pháp tuyến .
Lời giải:
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
- Rút gọn:
- Vậy phương trình mặt phẳng là: