Logo THI THỬ ONLINE THI THỬ ONLINE

Quay lại danh sách
Chọn mức độ: Cơ Bản Trung Cấp Nâng Cao

Hàm Số - Giới Hạn

TOÁN Trang 2 / 3
1 3

Hàm Số và Giới Hạn: Nâng Cao

Intermediate - Trung Cấp
Mục Lục

Hàm Số và Giới Hạn: Ôn Tập Nâng Cao


Tài liệu này được thiết kế để giúp học sinh THPT ôn tập và nắm vững kiến thức về hàm số và giới hạn, chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng. Chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm, kỹ thuật giải toán phức tạp, và các mẹo để đạt điểm cao.



1. Giới Hạn Hàm Số


1.1. Định nghĩa và các dạng vô định:



  • Giới hạn của hàm số khi tiến đến , ký hiệu .

  • Các dạng vô định thường gặp: .


1.2. Các quy tắc tính giới hạn:





  • (nếu )

  • (với là hằng số)


1.3. Các kỹ thuật khử dạng vô định:



  • Nhân lượng liên hợp: Sử dụng khi gặp các biểu thức chứa căn thức.

  • Phân tích thành nhân tử: Sử dụng khi gặp các biểu thức đa thức.

  • Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất: Sử dụng khi .

  • Sử dụng quy tắc L'Hôpital: Nếu hoặc , thì (nếu giới hạn tồn tại).




Ví dụ 1: Tính


Lời giải:



  1. Ta có:

  2. Vì , nên . Do đó,

  3. Thay vào, ta được:





Ví dụ 2: Cho . Tính .


Lời giải:



  1. Nhân lượng liên hợp:

  2. Vì , ta có . Chia cả tử và mẫu cho :

  3. Khi , . Do đó:

  4. Suy ra: .




2. Hàm Số Liên Tục


2.1. Định nghĩa:


Hàm số liên tục tại nếu:



  • xác định.

  • tồn tại.

  • .


Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.


2.2. Tính chất:



  • Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục (tại cùng một điểm) là một hàm số liên tục (thương liên tục nếu mẫu khác 0).

  • Hàm số hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.



3. Tiệm Cận của Đồ Thị Hàm Số


3.1. Tiệm cận đứng:


Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu hoặc .


3.2. Tiệm cận ngang:


Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu hoặc .


3.3. Tiệm cận xiên:


Đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu .



  • Để tìm tiệm cận xiên, ta tính: và .



Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .


Lời giải:



  1. Tiệm cận đứng: Mẫu số bằng 0 khi . Kiểm tra: và . Vậy là tiệm cận đứng.

  2. Tiệm cận ngang: Tính . Vậy là tiệm cận ngang.




4. Ứng dụng giới hạn trong xét tính liên tục


4.1 Bài toán: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.


4.2 Phương pháp:



  1. Tính

  2. Tính và

  3. So sánh , và . Nếu chúng bằng nhau, hàm số liên tục tại .



Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số tại .


Lời giải:





  3. Vì , hàm số liên tục tại .



Mẹo và Lưu ý



  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính giới hạn.

  • Chú ý đến dấu khi nhân lượng liên hợp hoặc chia cho các biểu thức chứa căn.

  • Sử dụng quy tắc L'Hôpital một cách cẩn thận, đảm bảo điều kiện áp dụng.

  • Rèn luyện kỹ năng phân tích và biến đổi để nhận diện các dạng vô định và áp dụng kỹ thuật khử phù hợp.


Chúc các bạn học tốt!


", "references": [ { "url": "https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_h%E1%BA%A1n_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91
Trang 2 / 3
Luyện thi môn TOÁN