Logo THI THỬ ONLINE THI THỬ ONLINE

Quay lại danh sách
Chọn mức độ: Cơ Bản Trung Cấp Nâng Cao

Hình Học Giải Tích

TOÁN Trang 2 / 3
1 3

Hình Học Giải Tích: Nâng Cao

Intermediate - Trung Cấp
Mục Lục

Hình Học Giải Tích: Nâng Cao



Tài liệu này dành cho học sinh THPT chuẩn bị cho các kỳ thi tuyển sinh đại học, tập trung vào các kỹ thuật và phương pháp giải quyết các bài toán hình học giải tích phức tạp hơn.



1. Tọa Độ Điểm và Vectơ



1.1. Ôn tập cơ bản:



  • Tọa độ điểm trong mặt phẳng Oxy và không gian Oxyz.

  • Vectơ: Định nghĩa, các phép toán (cộng, trừ, nhân với số), tích vô hướng, tích có hướng (trong Oxyz).

  • Biểu diễn tọa độ của vectơ qua tọa độ điểm đầu và điểm cuối.



1.2. Kỹ thuật nâng cao:



  • Sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học: thẳng hàng, đồng phẳng, vuông góc, song song.

  • Phân tích một vectơ thành tổng của các vectơ khác (ví dụ: phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng).

  • Ứng dụng của tích vô hướng: tính góc giữa hai vectơ, hình chiếu của một vectơ lên một đường thẳng.

  • Ứng dụng của tích có hướng (trong Oxyz): tính diện tích hình bình hành, thể tích hình hộp.



1.3. Ví dụ:



Ví dụ 1


Đề bài: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(-2; -2), C(4; -2). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.


Lời giải:



  1. Gọi D(x; y). Vì ABCD là hình bình hành nên .

  2. Tính và .

  3. Suy ra: -3 = 4 - x và -4 = -2 - y. Giải hệ phương trình, ta được x = 7 và y = 2.

  4. Vậy D(7; 2).





Ví dụ 2


Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(0; -1; 2), C(1; -1; 0). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.


Lời giải:



  1. Gọi D(x; y; z). Vì ABCD là hình bình hành nên .

  2. Tính và .

  3. Suy ra: -1 = 1 - x; -1 = -1 - y; 1 = -z. Giải hệ phương trình, ta được x = 2; y = 0; z = -1.

  4. Vậy D(2; 0; -1).




2. Phương Trình Đường Thẳng và Mặt Phẳng



2.1. Ôn tập cơ bản:



  • Phương trình đường thẳng: dạng tổng quát, dạng tham số, dạng chính tắc (trong mặt phẳng và không gian).

  • Phương trình mặt phẳng: dạng tổng quát, phương trình theo đoạn chắn.

  • Vị trí tương đối của hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng.



2.2. Kỹ thuật nâng cao:



  • Sử dụng phương trình tham số để giải các bài toán tìm giao điểm, khoảng cách.

  • Tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng hoặc mặt phẳng.

  • Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (trong Oxyz).

  • Ứng dụng của tích có hướng và tích hỗn tạp để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.



2.3. Ví dụ:



Ví dụ 1


Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x + y - z + 2 = 0. Tìm giao điểm của d và (P).


Lời giải:



  1. Viết phương trình tham số của d: .

  2. Thay vào phương trình mặt phẳng (P): (1 + 2t) + (-1 - t) - t + 2 = 0.

  3. Giải phương trình, ta được t = -2.

  4. Thay t = -2 vào phương trình tham số của d, ta được x = -3, y = 1, z = -2.

  5. Vậy giao điểm là (-3; 1; -2).





Ví dụ 2


Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của và .


Lời giải:



  1. Tìm vectơ chỉ phương của và : và .

  2. Tính tích có hướng: . Chọn làm VTCP của đường vuông góc chung.

  3. Gọi A(1 + 2t; t; -1 - t) thuộc và B(-1 - s; 1 + s; 2s) thuộc . Khi đó .

  4. cùng phương với nên . Giải hệ này để tìm s, t, k.

  5. Giải hệ phương trình trên (ví dụ dùng máy tính cầm tay hoặc các phương pháp đại số) để tìm ra s, t. Thay s, t vào tọa độ A và B. Sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua A và có VTCP là .




3. Phương Trình Đường Tròn và Mặt Cầu



3.1. Ôn tập cơ bản:



  • Phương trình đường tròn: dạng chính tắc, dạng tổng quát.

  • Phương trình mặt cầu: dạng chính tắc, dạng tổng quát.

  • Xác định tâm và bán kính của đường tròn/mặt cầu từ phương trình.



3.2. Kỹ thuật nâng cao:



  • Viết phương trình đường tròn/mặt cầu đi qua một số điểm cho trước.

  • Tìm giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng (là một đường tròn).

  • Bài toán tiếp tuyến: viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn/mặt cầu tại một điểm cho trước, hoặc đi qua một điểm cho trước.



3.3. Ví dụ:



Ví dụ 1


Đề bài: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), O(0; 0; 0).


Lời giải:



  1. Gọi phương trình mặt cầu có dạng: .

  2. Thay tọa độ các điểm A, B, C, O vào phương trình, ta được hệ phương trình: .

  3. Giải hệ phương trình, ta được a = b = c = -1/2 và d = 0.

  4. Vậy phương trình mặt cầu là: .





Ví dụ 2


Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; 0).


Lời giải:



  1. Tâm của (C) là I(1; -2) và bán kính R = .

  2. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại A là .

  3. Phương trình tiếp tuyến có dạng: 1(x - 2) + 2(y - 0) = 0, hay x + 2y - 2 = 0.




4. Elip, Hyperbol và Parabol



4.1. Ôn tập cơ bản:



  • Định nghĩa, phương trình chính tắc, các yếu tố (tiêu điểm, tiêu cự, trục lớn, trục bé, đỉnh) của elip, hyperbol và parabol.

  • Quan hệ giữa a, b, c trong phương trình chính tắc.



4.2. Kỹ thuật nâng cao:



  • Viết phương trình elip, hyperbol, parabol khi biết một số yếu tố.

  • Bài toán tiếp tuyến: viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm, hoặc đi qua một điểm.

  • Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và elip/hyperbol/parabol.

  • Ứng dụng tính chất quang học của các đường conic.



4.3. Ví dụ:



Ví dụ 1


Đề bài: Viết phương trình chính tắc của elip, biết elip có một tiêu điểm là F(4; 0) và đi qua điểm M(4; 9/5).


Lời giải:



  1. Vì tiêu điểm là F(4; 0) nên c = 4. Phương trình elip có dạng .

  2. Vì M(4; 9/5) thuộc elip nên .

  3. Ta có hay . Thay vào phương trình trên.

  4. Giải phương trình tìm a^2, từ đó tìm b^2. Suy ra phương trình elip. (Kết quả: )





Ví dụ 2


Đề bài: Cho parabol (P): . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M(; ).


Lời giải:



  1. Phương trình tiếp tuyến có dạng: .




5. Bài Tập Tổng Hợp và Mẹo Giải Nhanh



5.1. Bài tập tổng hợp:



  • Các bài toán kết hợp nhiều kiến thức: tọa độ, vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, elip, hyperbol, parabol.

  • Bài toán chứng minh hình học bằng phương pháp tọa độ.

  • Bài toán cực trị trong hình học giải tích.



5.2. Mẹo giải nhanh:



  • Sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình, tính tích vô hướng, tích có hướng.

  • Nhận biết các dạng bài toán quen thuộc để áp dụng công thức giải nhanh.

  • Kỹ năng vẽ hình để hình dung bài toán và tìm ra hướng giải.

  • Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay số hoặc sử dụng phần mềm vẽ hình.



Chúc các bạn học tốt!


", "references": [] }
Trang 2 / 3
Luyện thi môn TOÁN