Cơ Bản: Thống Kê
Basic - Cơ BảnMục Lục
Thống Kê: Khái Niệm Cơ Bản
Thống kê là một ngành khoa học thu thập, phân tích, giải thích và trình bày dữ liệu. Trong chương trình học, chúng ta thường gặp thống kê mô tả, giúp tóm tắt và hiểu rõ các đặc điểm chính của một tập dữ liệu.
Các Khái Niệm Quan Trọng
- Mẫu số liệu: Tập hợp các giá trị thu thập được.
- Số trung bình (Mean): Tổng các giá trị chia cho số lượng giá trị. Ký hiệu:
- Phương sai (Variance): Đo mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh số trung bình. Ký hiệu:
- Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): Căn bậc hai của phương sai. Ký hiệu:
- Khoảng biến thiên (Range): Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
- Tần số (Frequency): Số lần một giá trị xuất hiện trong mẫu số liệu.
- Bảng tần số: Bảng liệt kê các giá trị và tần số tương ứng.
- Mẫu số liệu ghép nhóm: Dữ liệu được chia thành các khoảng (nhóm).
Công Thức Cơ Bản
- Số trung bình:
Trong đó: là giá trị thứ i, n là số lượng giá trị.
- Phương sai (cho mẫu số liệu không ghép nhóm):
Trong đó: là giá trị thứ i, là số trung bình, n là số lượng giá trị.
Lưu ý: Trong một số trường hợp, mẫu số có thể là n thay vì n-1. Điều này thường được sử dụng khi tính phương sai của toàn bộ dân số, không phải chỉ là mẫu.
- Độ lệch chuẩn:
Thống Kê Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Khi dữ liệu được cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm, ta sử dụng công thức sau để tính số trung bình và phương sai:
- Số trung bình (cho mẫu số liệu ghép nhóm):
Trong đó: là giá trị đại diện của nhóm thứ i (thường là trung điểm của khoảng), là tần số của nhóm thứ i, k là số lượng nhóm.
- Phương sai (cho mẫu số liệu ghép nhóm):
Trong đó: là giá trị đại diện của nhóm thứ i, là số trung bình, là tần số của nhóm thứ i, k là số lượng nhóm.
Các Lỗi Thường Gặp
- Nhầm lẫn giữa số trung bình, trung vị và mốt.
- Tính sai phương sai do quên bình phương độ lệch.
- Sử dụng sai công thức cho mẫu số liệu ghép nhóm và không ghép nhóm.
- Làm tròn số quá sớm, dẫn đến sai số lớn trong kết quả cuối cùng.
Ví dụ 1: Tính Khoảng Biến Thiên
Đề bài: Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng như sau: 50, 60, 70, 55, 65, 75, 80, 62, 68, 72, 58, 63, 77, 82, 53, 66, 71, 79, 57, 69, 73, 81, 52, 61, 74, 78, 51, 64, 76, 83.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
Lời giải:
- Xác định giá trị lớn nhất: 83
- Xác định giá trị nhỏ nhất: 50
- Tính khoảng biến thiên: 83 - 50 = 33
Vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 33 km.
Ví dụ 2: Tính Phương Sai (Mẫu Số Liệu Không Ghép Nhóm)
Đề bài: Cho mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Tính phương sai.
Lời giải:
- Tính số trung bình:
- Tính độ lệch của mỗi giá trị so với số trung bình:
- 2 - 6 = -4
- 4 - 6 = -2
- 6 - 6 = 0
- 8 - 6 = 2
- 10 - 6 = 4
- Bình phương các độ lệch:
- (-4)^2 = 16
- (-2)^2 = 4
- 0^2 = 0
- 2^2 = 4
- 4^2 = 16
- Tính tổng các bình phương độ lệch: 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
- Tính phương sai:
Vậy, phương sai của mẫu số liệu là 10.
Ví dụ 3: Tính Phương Sai (Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm)
Đề bài: Thời gian chạy tập luyện cự li 100 mét của một vận động viên được cho trong bảng sau:
| Thời gian (giây) | Tần số |
|---|---|
| 12-13 | 5 |
| 13-14 | 8 |
| 14-15 | 7 |
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải:
- Xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm):
- Nhóm 12-13: (12+13)/2 = 12.5
- Nhóm 13-14: (13+14)/2 = 13.5
- Nhóm 14-15: (14+15)/2 = 14.5
- Tính số trung bình:
- Tính phương sai:
Vậy, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 0.62.