Câu 1
Cho tứ diện ABCD có AB = 3a, AC = $a\sqrt{15 }$, BD = $a\sqrt{10}$, CD = 4a . Biết rằng góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD) bằng $45^{\circ}$, khoảng cách giữa hai đường AD và BC bằng $\frac{5a}{4}$ và hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) nằm trong tam giác BCD. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
Câu 2
Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{2} }cotxf(sin^{2}x)dx = \int_{1}^{16}\frac{f(\sqrt{x})}{x}dx=1$. Tính tích phân $I = \int_{\frac{1}{8} }^{1}\frac{f(\pi 4x)}{x}dx$
Câu 3
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $cos^{3}2x-cos^{2}2x=msin^{2}x$ có nghiệm thuộc khoảng $\left ( 0;\frac{\pi }{6} \right )$?
Câu 4
Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ "THANH HOA" thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
Câu 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;-2) và đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}{1}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z-1}{1}$. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm (A), song song với đường thẳng d và khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Câu 6
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu $(S_{1}), (S_{2}),(S_{3})$ có bán kính r = 1 và lần lượt có tâm là các điểm A(0;3;-1), B(-2;1;-1), C(4;-1;-1). Gọi (S) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất là:
Câu 7
Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45cm. Hỏi phần trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 8
Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ m(t) = $m_{0}e^{-m}$, $\lambda =\frac{ln2}{T}$ trong đó $m_{0}$ là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ $ _{14}^{6}\textrm{C}$ trong mẫu gỗ đó đã mất 45% so với lượng $ _{14}^{6}\textrm{C}$ ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại bao nhiêu năm? Cho biết chu kì bán rã của $ _{14}^{6}\textrm{C}$ là khoảng 5730 năm.
Câu 9
Cho hàm số $y = x^{4}+2mx^{2}+m$ với m là tham số thực. Tập các giá trị của m dể đồ thị hàm số cắt đường y = -3 tại 4 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm có hoành độ lớn hơn 2,3 điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1 là khoảng $(a;b), a,b\in \mathbb{Q}$. Khi đó 15ab nhận giá trị nào sau đây?
Câu 10
Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu siễn các số phức $z_{1}=2$, $z_{2}=4i$, $z_{3}=2+4i$. Tính diện tích tam giác ABC